ВСЕ РАЗДЕЛЫ
- Неопределенность и риск
- Страховые портфели
- Цена страхования
- Введение в теорию полезности
- Характеризация отношения к риску
- Простейший процесс риска
- Классический процессриска
- Агрегированный процесс риска
- Время жизни процессов риска
- Финансовый кризис 2008
НОВОСТИ ФИНАНСОВ
| Опубликовал: Administrator | |
|
12.07.2008 6.2 Уравнение для вероятности разорения Если начальный капитал первого игрока равен 0 или а, то игра не проводится и соответствующие значения вероятностей разорения равны q0= 1, qa = 0. (55) Если же 0 < z< а, то после первой партии капитал первого игрока принимает значение z+ 1 с вероятностью р или значение z— 1 с вероятностью q. Поэтому, по формуле полной вероятности, qz = pqz+i + qqz-i-(56) (56) представляет собой разностное уравнение второго порядка с характеристическим уравнением  корни которого равны 1 и q/p, соответственно. Обозначим второй корень  6.3 Вычисление вероятностей разорения Если р ф 1/2, то у ф 1, корни различны, и общее решение уравнения (56) имеет вид  Используя краевые условия (55), находим значения постоянных С\, С^ и соответствующее частное решение:  Вычислим вероятность разорения второго игрока упомянутым формальным приемом. Перестановка р и qозначает замену у на у~1, так что  Нетрудно заметить, что  так что в игре без ограничения времени с вероятностью 1 происходит разорение одного из игроков. При р = 1/2 имеем у = 1, так что корни характеристического уравнения вещественны и совпадают. Второе линейно независимое решение уравнения (56) имеет в этом случае вид z, общее решение - qz= С\ + Сг-г, частное решение -  К тому же результату можно прийти, раскрывая неопределенность в (60) при у —> 1 по правилу Лопиталя. Вероятность разорения второго игрока имеет вид  так что снова с вероятностью 1 происходит разорение одного из игроков. Функция qzв (60) и (61) монотонно убывает от 1 до 0 при изменении zот 0 до а. Если р > 1/2, то у < 1, и (60) является выпуклой; если же р < 1/2, то у > 1, и (60) является вогнутой. Моделирование финансовых рисков 6.4 Игра с бесконечно богатым противником Изучим поведение вероятности разорения при а —> сю; для случая р < 1/2 при произвольном фиксированном zимеем что означает бесперспективность игры с бесконечно богатым противником в случае невыгодности (р < 1/2) или нейтральности (р = 1/2) игры. При р > 1/2 получаем  т.е. зависимость вероятности разорения от начального капитала является экспоненциальной с показателем а = —Iny = —ln(q/p) > 0. Отметим, что условие положительности рисковой надбавки EZi > 0 эквивалентно р > 1/2. |
|
