5.1 Отношение к риску
Пусть X- совокупность всех рисков (для определенности - случайных величин); рассмотрим произвольный риск Xе Xс функцией распределения F(z) = Р{Х < z} и математическим ожиданием цх = ЕХ; в качестве меры полезности риска будем использовать и(Х) - среднее значение некоторой функции полезности Uна этом риске:
и(Х) = EU(X).(43)
Исследуем связь формы функции полезности с отношением ее обладателя к риску. Значения Xздесь будем трактовать, как доход (чем больше, тем лучше), а функцию полезности Uсчитать возрастающей, так что индивидуум с данной функцией полезности стремится максимизировать значение и(-). В зависимости от соотношения и(Х) и цх будем различать следующие варианты отношения индивидуума к риску:
• нейтральное отношение:

• склонность к риску:

• неприятие риска:

Будем обозначать классы функций полезности, описывающих нейтральное отноше-
ние, склонность к риску и неприятие риска

соответственно:

5.1.1 Нейтралитет
Рассмотрим сначала линейную функцию полезности

В этом случае

ввиду линейности математического ожидания. Это означает, что линейная функция полезности описывает нейтральное отношение к риску и любая линейная функция

является элементом

5.1.2 Склонность к риску
Пусть теперь функция полезности

выпукла, т.е. удовлетворяет условию

и, более общо,

Тогда, полагая распределение Xдля простоты дискретным со значениями Ziи соответствующими вероятностями pi} г = 1,..., п, получаем

т.е. выпуклая функция полезности описывает склонность к риску. Отметим здесь, что вывод формулы (45) справедлив для произвольного, а не только дискретного распределения X.
5.1.3 Неприятие риска
Рассмотрим теперь случай вогнутой функции полезности, удовлетворяющей условию

Здесь аналогично получаем неравенство

означающее, что вогнутые функции полезности описывают неприятие риска (risk aversion). Верно и обратное утверждение: неприятие риска описывается вогнутой функцией полезности; сформулируем его в виде теоремы.

Теорема 5.1 Если для произвольного риска Xвыполняется неравенство

то функция Uявляется вогнутой, т.е. удовлетворяет условию (46).
Замечание 5.1 Поскольку реальные участники рынков с рисками не приемлют риск, т.е. предпочитают детерминированный актив цх риску Xс ЕХ = цх, всюду в дальнейшем будем рассматривать только строго вогнутые функции полезности. Без существенного ущерба для общности можно считать Uдостаточно гладкой функцией.
Таким образом, можно дать следующее определение:
Определение 5.1 Функцией полезности называется дважды непрерывно дифференцируемая функция, обладающая свойствами

Упражнение 5.1 Доказать теорему 5.1.
Упражнение 5.2 Доказать аналогичную теорему:

Упражнение 5.3 Доказать: