Классический процесс риска изучался на протяжении всего 20 века, начиная с работы Лундберга [4]. Уравнением этого процесса описывается динамический портфель страховой компании, банка, других финансовых организаций, являющихся перераспределителями финансовых потоков в окружении рискованной среды. Среди других приложений можно упомянуть описание уровня воды в водохранилище.

7.1 Определение
Рассмотрим определение процесса риска на примере работы страховой компании. Пусть страховые премии поступают равномерным потоком1 с интенсивностью с, а в случайные моменты времени 0 < 7\ < Т2 < ... наступают страховые события, наносящие ущерб случайного размера Z\, Z2,..., соответственно. Тогда размер капитала компании в момент времени tпри условии, что начальный капитал (в момент времени То = 0) равен х, описывается выражением

где

количество страховых событий, наступивших в интервале времени [0,t]. Поскольку моменты времени Т», г = 1,2,... случайны, случайными оказываются и промежутки времени между последовательными страховыми событиями

1 От требования равномерности потока можно избавиться введением так называемого операционного времени; этот прием будет рассмотрен позже.
Случайный процесс вида (62) называется классическим процессом риска, если случайные величины в^, г = 1,2,... являются независимыми, одинаково распределенными и имеют показательное распределение с параметром Л > 0:

случайные величины

также являются независимыми и одинаково распределенными и имеют функцию распределения

При этом, как известно [3], количество страховых событий N(t) имеет распределение Пуассона с параметром Xt:

а накопленный размер страховых убытков

на интервале времени [0, t] является случайной величиной с так называемым составным распределением Пуассона, функция распределения которого имеет вид

где

означает к - кратную свертку функции распределения Fс собой, т.е. функ-
цию распределения суммы к независимых одинаково распределенных случайных величин с функцией распределения F.
В тех случаях, когда необходимо подчеркнуть зависимость значения процесса

от случайного аргумента

будем использовать обозначение

в
частности, отдельную траекторию процесса при фиксированном и будем обозначать

Как видим, классический процесс риска вполне определяется значениями четырех
параметров

, удовлетворяющих условиям

Произвольный классический процесс риска с фиксированными значениями параметров, удовлетворяющих условиям (70), будем обозначать

а совокупность всех классических процессов риска с такими параметрами -